多项式系统求解的算法研究
内容简介
多项式方程组的构造性理论及相关的求解算法是具有基本重要性的经典课题。伟大的数学家、哲学家笛卡尔曾有过这样一个伟大的设想（并为之进行了伟大的实践，从而创立了解析几何学）：
一切问题都可以转化为数学问题；
一切数学问题又可以转化为代数问题；
一切代数问题最终可以转化为方程的求解问题。
虽然这一伟大的设想没有成功，然而，随着科学研究的不断进步，多项式系统的求解问题在技术工程领域起着越来越重要的作用。对于单变元（线性）系统，学术界已经进行了非常深入的研究。单变元（线性）系统在科技中起到了非常重要的作用。关于多项式系统的研究，由于其本身所具有的高复杂性，以前的研究仅仅停留在理论层面上。随着电子计算机的出现，多项式系统的求解问题逐渐从理论研究转换到算法研究。
在《多项式系统求解的算法研究》中，笔者根据自己多年的学习和研究，分别介绍了牛顿迭代在特殊情况下二阶收敛性的重构、半代数系统的实根隔离、正维数系统的实根计算及其应用以及三种常用结式之间的关系等问题。为了使读者对多项式方程组求解有一个系统的了解，笔者还补充了若干必要的基本知识。它们主要集中在书中第二章。，书中属于笔者的工作主要是：
（1）非线性系统奇异解的计算；
（2）半代数系统实根隔离的数值方法；
（3）正维数系统的实根的计算方法及其在微分系统稳定性判定中的应用；
（4）三种多项式系统多余因子之间关系的讨论；
（5）代数系统非混合分解的快速算法设计。，
作为迭代算法中的经典方法，牛顿迭代算法是牛顿在17世纪提出的在实数域和复数域上近似求解方程的一种方法。由于它具有二阶收敛性，牛顿迭代算法成了众多数值迭代算法的核心，然而，牛顿迭代算法仍然有它的局限性：奇异解，、《多项式系统求解的算法研究》第三章依据对偶空间中元素的性质，给出了恢复奇异解二阶收敛性的算法，且给出了完整的理论证明；在此基础上，开发了Maple程序Refine_root，通过一些实际例子表明，它的效率比我们已知的若干方法的通用程序要高。利用该方法，我们给出了简单的潮流系统的病态解。
众所周知，通过数学建模，我们可以将众多的生产实际问题转化为数学问题，特别是转化为方程问题。然而，由于实际问题中各种参数具有不同的实际意义，我们往往得到的不只是等式系统，同时也会得到一些不等式系统。半代数系统的求解在实际问题中具有重要的意义。结合同伦方法和区间牛顿方法，我们开发了求解半代数系统实根隔离的通用程序Real_root.ISO。大量的实验数据表明，它的效率比已知的符号计算通用程序DISCOVER要高很多。
动力系统的稳定性分析在控制系统的设计以及制造中起着至关重要的作用。对于线性系统，稳定性分析是非常简单的。但是对于非线性系统，验证平衡点的稳定性是非常困难的。此时可以通过李雅普诺夫方法解决此问题。在《多项式系统求解的算法研究》中，我们通过求解不等式系统，提出了一种快速验证系统稳定的方法。
学习过线性代数的读者都应该知道，通过系数矩阵，不需要求解我们就可以判定该系统的解的存在情况。对于多项式系统，我们通过结式也可以在不求解的情况下判断解的存在情况。因此结式的构造非常复杂，构造方法众多，不同的方法有不同的优缺点。然而它们都具有多余因子，去除多余因子才可以准确地判断解的存在。我们分析了三种结式之间的多余因子的关系，同时提出了一种新的构造Caley-Sylvester结式的快速递归方法。
作者简介
季振义（1983年2月-），男，四川农业大学讲师，长期从事计算机代数、多项式系统求解的符号数值混合算法研究，在国内外期刊发表学术论文近15篇，主研、主持科研项目6项。
刘诚（1982年7月-），男，四川农业大学讲师，长期从事非线性系统优化、非线性数据处理、人工智能和模式识别方面的研究工作，发表学术论文20余篇，主持、主研科研项目10余项，独著专著1部，编写教材2部。
刘健康（1975年9月-），男，四川农业大学副教授，硕士生导师，从事数学物理计算方法、凝聚态物理的教学与科学研究，公开发表学术论文20余篇，参与国家自然科学基金2项、省厅级课题5项，主持校级课题2项，独著专著l部，主编教材1部。
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