【典型应用3】综合应用

（☆☆☆）【4.3.1】

已知关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2-2k-3=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）当k取最小的整数时，求抛物线y=x2-2（k+1）x+k2-2k-3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标．

（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新图像．请你画出这个新图像，并求出新图像与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值．

【解析】

（1）由题意，得Δ=4（k+1）2-4（k2-2k-3）=16k+16＞0，所以k＞-1．所以k的取值范围为k＞-1.

（2）k＞-1，且k取最小的整数，所以k=0．所以y=x2-2x-3=（x-1）2-4，则抛物线的顶点坐标为（1，-4），因为y=x2-2x-3的图像与x轴相交，所以0=x2-2x-3，所以解得：x=-1或3，所以抛物线与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）；

（3）翻折后所得新图像如图4-11所示．平移直线y=x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图像有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（-1，0），所以0=-1+m，即m=1.②当直线位于l2时，此时l2与函数y=-x2+2x+3的图像有一个公共点，所以方程x+m=-x2+2x+3，即x2-x+m-3=0有两个相等实根，所以Δ=1-4（m-3）=0，即．当时，，满足-1≤x≤3．由①②知m=1或.

图4-11

（☆☆☆）【4.3.2】

如图4-12所示，抛物线C1：y=-x2+4x-2与x轴交于A，B，直线分别交x轴、y轴于点S和点C，抛物线C1的顶点E在直线l上．

图4-12

（1）求直线l的解析式．

（2）如图4-13所示，将抛物线C1沿射线ES的方向平移得到抛物线C2，抛物线C2的顶点F在直线l上，并交x轴于M，N两点，且，求抛物线C1平移的距离．

图4-13

（3）将抛物线C2沿水平方向平移得到抛物线C3，抛物线C3与x轴交于P，G两点（点P在点G的左侧），使得△PEF为直角三角形，求抛物线C3的解析式．

【解析】

（1）因为抛物线C1：y=-x2+4x-2=-（x-2）2+2，则顶点E（2，2），代入直线l的解析式后，得b=3．直线.

（2）因为顶点F在直线l上，设顶点，抛物线C2可表示为.所以，E（2，2），；因为，所以tan∠FNM=1，∠FNM=45°，所以，即.代入中，得m=4，即F（4，1）；所以，即抛物线C1平移的距离.

（3）由（2）知C2：y=-（x-4）2+1，所以M（3，0），N（5，0）．因为PG=MN=2，设P（p，0），则Q（p+2，0），抛物线C3顶点（p+1，1），抛物线C3：y=-（x-p-1）2+1．因为E（2，2），F（4，1），所以PE2=（p-2）2+22=p2-4p+8；PF2=（p-4）2+12=p2-8p+17，EF2=5.

①当∠PEF=90°时，p2-4p+8+5=p2-8p+17，所以p=1，此时C3为y=-（x-2）2+1；

②当∠PFE=90°时，p2-8p+17+5=p2-4p+8，所以，此时C3为y=；

③当∠EPF=90°时，p2-8p+17+p2-4p+8=5，即p2-6p+10=0，Δ＜0，此时C3不存在；

故抛物线C3的解析式为y=-（x-2）2+1或.

（☆☆☆）【4.3.3】

如图4-14所示，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M.

图4-14

（1）求这条抛物线的解析式．

（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q．若点P在线段BM上运动（点P不与点B，M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．

（3）在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）由题意可知，抛物线的对称轴为x=1.

当x=1时，y=3x-7=-4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）.

当x=4时，y=3x-7=5，因此直线y=3x-7与抛物线的另一交点为（4，5）.

设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，则有a（4-1）2-4=5，a=1．故抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

（2）根据（1）的抛物线可知：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），

易知直线BM的解析式为y=2x-6，

当x=t时，y=2t-6，因此PQ=6-2t，

故，

即.

（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．

因为点N在BM上，不妨设点N坐标为（m，2m-6），

则CM2=2，CN2=m2+［3-（6-2m）］2，或CN2=m2+［（6-2m）-3］2.

MN2=（m-1）2+［4-（6-2m）］2.

△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：

①若CN=CM，则m2+［（6-2m）-3］2=2，所以，m2=1（舍去）．所以.

②若CM=MN，则2=（m-1）2+［4-（6-2m）］2．所以．因为1＜m＜3，所以舍去．所以.

③若CN=NM，则m2+［3-（6-2m）］2=（m-1）2+［4-（6-2m）］2．解得m=2.所以N（2，-2）．故假设成立．

综上所述，存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形，且点N的坐标分别为

（☆☆☆）【巩固练习3】

如图4-15所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B，C，Q，R在同一直线l上，且C，Q两点重合．如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l以箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．

图4-15

（1）当t=4时，求S的值．

（2）当4≤t≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．