【典型应用4】综合应用
（☆☆）【20.4.1】
如图20-1所示，直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由．
图20-1
【解析】
易得y=a（x+1）（x-3），再结合点B（0，3）在抛物线上，所以y=-x2+2x+3．依题意得
，抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，y）．此时并不能得知△ABQ的具体位置，故根据底的情况进行枚举：
（1）以AQ为底，则有AB=QB，即
，解得y=0或y=6，又因为点（1，6）在直线AB上（舍去），所以此时存在一点Q（1，0）.
（2）以BQ为底，同理则有AB=AQ，解得Q（1，±
）.
（3）以AB为底，同理则有QA=QB，存在点Q（1，1）.
综上，共存在四个点，分别为Q（1，0），Q（1，1），Q（1，
），Q（1，-
）.
（☆☆☆）【20.4.2】
如图20-2所示，二次函数y=x2+px+q（p＜0）的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，-1），△ABC的面积为
.在该二次函数的图像上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
图20-2
【解析】
存在，AC⊥BC，又以底边进行枚举：
①若以AC为底边，则BD∥AC，易求AC的解析式为y=-2x-1，
可设BD的解析式为y=-2x+b，把B（2，0）代入得BD解析式为y=-2x+4，
②若以BC为底边，则BC∥AD，易求BC的解析式为
，可设AD的解析式为
，把
代入，得AD解析式为
，解方程组
，得
.
综上，所以存在两点：
或
.
（☆☆☆）【巩固练习4】
如图20-3所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
图20-3
（1）直接写出点E，F的坐标．
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E，F，P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的关系式．
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