【典型应用】综合题
（☆☆☆）【10.1.1】
如图10-1所示，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合）.OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
图10-1
（1）当BC=1时，求线段OD的长．
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【解析】
由分析综合得：
（1）根据OD⊥BC可得出
，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长为
.
（2）如图10-2所示，连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长．再根据D和E是中点可得出
.
图10-2
（3）如图10-3所示，由BD=x，可知CD=x．由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°．过D作DF⊥OE，连
，即可得出结论：
.
图10-3
（☆☆☆）【10.1.2】
如图10-4所示，已知抛物线
（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.
图10-4
（1）点B的坐标为________，点C的坐标为________（用含b的代数式表示）.
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】
（1）令
，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标，故得B（0，b），
.
（2）如图10-5所示，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D，E，那么△PDB≌△PEC．因此PD=PE．设点P的坐标为（x，x）．如图10-6所示，连接OP.所以
.解得
.所以存在点P，点P的坐标为
.
图10-5
图10-6
（3）由
，得A（1，0），OA=1.
①如图10-7所示，以OA，OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当
，即QA2=BA·OA时，△BQA∽△QOA．所以
.解得
．所以符合题意的点Q为（
）.
图10-7
②如图10-8所示，以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q，那么∠OQC=90°.因此△OCQ∽△QOA．当
时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB=90°．所以C，Q，B三点共线．因此
，即
.解得QA=4．此时点Q为（1，4）.
图10-8
综上，存在点Q，点Q坐标为
或（1，4）.
（☆☆☆）【巩固练习1】
已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a（b＜0），若抛物线C1经过点（0，-3），方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4.
（1）求抛物线C1的顶点坐标．
（2）已知实数x＞0，请证明
，并说明x为何值时才会有
.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足∠AOB=90°，m＞0，n＜0．请你用含有m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。
（参考公式：在平面直角坐标系中，若P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q两点间的距离为
.）
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