【典型应用1】化简求值
（☆☆）【16.1.1】
已知关于x的方程x2+2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根，化简：
.
【解析】
由Δ=4（m2+2m+1）-4（m2+5）＞0，得m＞2，再化简得2m-3.
（☆☆）【16.1.2】
如果一直角三角形的三边为a，b，c，∠B=90°，试判断关于x的方程a（x2-1）-2cx+b（x2+1）=0的根的情况．
【解析】
由∠B=90°可得a2+c2=b2，化简原方程为（a+b）x2-2cx+b-a=0，Δ=4c2-4（b2-a2）=4c2-4c2=0，故方程有两个相等的实数根．
【备注】
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
（☆☆）【16.1.3】
已知x2-ax+3-b=0有两个不相等的实数根，x2+（6-a）x+6-b=0有两相等的实数根，x2+（4-a）x+5-b=0无实数根，求a，b的取值范围．
【解析】
x2-ax+3-b=0有两个不等的实数根，
Δ=a2-4（3-b）=a2+4b-12＞0 ①，
x2+（6-a）x+6-b=0有两相等实根，
②，
x2+（4-a）x+5-b=0无实数根，
Δ=（4-a）2-4（5-b）=a2-8a+4b-4＜0 ③，
②代入①得a＞2，②代入③得b＜4，由2＜a＜4，可得2＜b＜5．综上，2＜a＜4，2＜b＜5.
（☆☆☆）【16.1.4】
设x为实数，
，试求
的取值范围．
【解析】
令
，化简得x2-（2+6y）x+21+14y=0．由于x是实数，所以关于x的一元二次方程必有两个实根，即Δ=［-（2+6y）］2-4（21+14y）≥0，解出y的取值范围即得
或y≥2.
（☆☆☆）【16.1.5】
已知m，n为整数，方程
有两个不相等的实数根，方程
有两个相等的实数根，求n的最小值并说明理由．
【解析】
有两个不相等的实数根，故
，而
有两个相等的实数根，故
，化简得4m=（n-6）2（n-1）+148，代入Δ1＞0中，化简得8n2-40n-188＞0，解得nmin=8.
（☆☆☆）【巩固练习1】
已知关于x的方程x2-4（m-1）x+3m2-2m+2k=0对于任意有理数m均有有理根，试求k的值．
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